Může brát pěstoun odměnu pěstouna a zároveň rodičovský příspěvek?

ANO, může.

Při splnění zákonem stanovených podmínek může pěstounka pobírat odměnu pěstouna i rodičovský příspěvek. Podle § 30 zákona č. 117/1995 Sb. o státní sociální podpoře, ve znění pozdějších předpisů, rodičovský příspěvek náleží rodiči, který po celý kalendářní měsíc celodenně a řádně pečuje o dítě, které je nejmladším dítěte v rodině…, rodičem se podle § 31 citovaného zákona pro účely rodičovského příspěvku rozumí též i osoba, která převzala dítě do trvalé péče nahrazující péči rodičů na základě rozhodnutí příslušného orgánu.